Rational External Rays of the Mandelbrot Set

We give a new proof that all external rays of the Mandelbrot set at rational angles land, and of the relation between the external angle of such a ray and the dynamics at the landing point. Our proof is di erent from the original one, given by Douady and Hubbard and re ned by Lavaurs, in several ways: it replaces analytic arguments by combinatorial ones; it does not use complex analytic dependence of the polynomials with respect to parameters and can thus be made to apply for non-complex analytic parameter spaces; this proof is also technically simpler. Finally, we derive several corollaries about hyperbolic components of the Mandelbrot set. Along the way, we introduce partitions of dynamical and parameter planes which are of independent interest, and we interpret the Mandelbrot set as a symbolic parameter space of kneading sequences and internal addresses. Nous donnons une nouvelle d emonstration que tous les rayons externes a arguments rationels de l'ensemble Mandelbrot aboutissent, et nous montrons la relation entre l'argument externe d'un tel rayon et la dynamique au param etre o u le rayon aboutit. Notre d emonstration est di erente de l'originale, donn ee par Douady et Hubbard et elabor ee par Lavaurs, a plusieurs egards: elle remplace des arguments analytiques par des arguments combinatoires; elle n'utilise pas la d ependence analytique des polynômes par rapport au param etre et peut donc être appliqu ee aux espaces de param etres qui ne sont pas analytiques complexes; la d emonstration est aussi techniquement plus facile. Finalement, nous d emontrons quelques corollaires sur les composantes hyperboliques de l'ensemble Mandelbrot. En route, nous introduisons des partitions du plan dynamique et de l'espace des param etres qui sont int eressantes en elles-mêmes, et nous interpr etons l'ensemble Mandelbrot comme un espace de param etres symboliques contenant des kneading sequences et des adresses internes.